摘要：数学思想是数学活动的指导思想，数学活动的一般概括。它从整体和思维的更高层次上指导学生有效的认识数学的本质，运用数学知识发现、完善数学知识结构，探寻解题的方向和途径。函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来一股很强的创新能力。

关键词：函数思想、方程思想、函数与方程思想

高中阶段的数学用到的基本思想有：函数与方程思想，分类讨论思想，转化与化归思想，数形结合思想。而其中的函数与方程思想是每年高考的热点之一，高中阶段第一次出现在苏教版必修一的第三章。所以深入研究函数与方程思想对学好数学起非常大的作用。

函数思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图象和性质去分析问题，达到转化问题的目的，从而使问题获得解决的思想；方程思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想。

函数与方程是密不可分的，函数中的如果为0的话就可以转化为方程。函数与方程思想就是把函数问题转化为方程问题，例如求函数的零点可以转化为求对应方程的根，或者把方程问题转化为函数问题来解决，例如求方程的根的个数可以转化为求两函数交点的个数。苏教版必修一的第三章引入的函数与方程思想，主要体现在求方程的实数根，就是确定函数的图象与轴交点的横坐标，即函数的零点；求的根或根的个数就是求函数与图象的交点或交点个数。

一、函数思想

所谓函数思想，就是在根据已知条件构造函数，通过研究函数的单调性、奇偶性等性质，来解决问题的思想。

1、构造函数，利用函数的性质答题

例1、（1）比较大小：；；

（2）证明方程至少有一个小于1的正实根；

分析：（1）分别构造函数和，利用其单调性比较大小；

     （2）构造函数，验证的符号即可；

解：（1）构造函数，其在上是单调增函数，

        因为，所以；

        构造函数，其在上是单调增函数，

         因为，所以.  

  （2）令，则的图象在R上是一条连续不间断的曲线.

     所以，所以在区间（0,1）内至少有一个零点，

     即方程至少有一个小于1的正实根，得证.

点评：解有关不等式，方程，比大小的问题，可以通过构造函数关系式，借助函数的图象和性质，可以使问题更直观形象，充分利用数形结合、函数方程思想，为以后的学习奠定基础。

2、利用函数思想解答有关实际应用题

  例2、某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特地修了一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次。若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢能乘载乘客110人。问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数。

分析：建立目标函数，再求函数的最值。

解：设每日来回次，每次挂节车厢，由题意，再设，

  方程组，，所以

  由题意知，每日运营车厢节数最多时，运营人数最多，设每日运营节车厢，则，所以当时，，此时.

则每日最多运营人数为7920人。

答：这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920人。

点评：通过建立函数解决实际问题要注意定义域，根据定义域来求函数的最值。

     二、方程思想：通过换元，构成已经学过的方程求解：

例3 、关于的方程恒有解，求的取值范围.

分析：通过换元将其变为一元二次方程恒有正根的问题，同时利用韦达定理解题.

解：设，则.由题意得，方程有正根，

 所以即，所以

点评：对于类似于一元二次方程的复杂方程，可以通过换元将问题转化为已学过的方程求解。

    三、函数方程思想

有的题目需要根据函数与方程之间的相互关系而互相转换。

例4 、函数的零点个数为           .

分析：该函数不是常见的函数，所以不能通过直接画图象找零点个数，所以应该想到把零点问题转化为令，即变为方程根的问题，但转化之后的方程也不是熟悉的，求根难度也很大，所以应将这个方程改写为，进而变成两函数的交点个数问题，以此为突破点解决这道题目就比较简单了。

解：令，得到，

在同一个坐标系中分别画出

函数，

如图所示：      

可得这两个函数图象有一个交点，即函数的零点个数为1.

例4、（2008天津卷改编）设，若对任意的，都有满足方程，此时的取值集合为            .

分析：本题看上去是考查含参数的方程，实际上是以含参数方程为载体，考查函数的定义域、值域以及函数思想，所以解这道题目的基本思路：方程问题函数化.由方程，可得，把看成自变量，看成应变量，可以得到函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的值域是，由题意，所以，解得，所以答案是.

    函数与方程的思想是高考的热点，也是学生学习的难点，很多学生拿到类似的题目无从下手，不会变通，所以在上必修一函数与方程这一节时，教师要充分利用函数的零点以及二分法的有关内容不断强调，向学生灌输如果从函数无从下手，就变成方程，如果方程不会解，就通过函数解决的思想，进而也深化了数形结合的数学思想，通过不断的练习，不同变式的训练，强化学生的记忆与理解，只有这样，才能让学生在高考中能自然地运用函数方程思想，而不是死板硬套。

    学习函数方程的思想不是一两节就能掌握的，需要通过长时间的努力渗透，包括以后学的三角函数、数列、不等式，都运用到了这一思想，高一的基础是非常重要的，所以也要求教师一定要在高一让学生懂并会运用这一思想。

参考文献：

【1】余仁宏.函数与方程的思想方法

【2】朱占奎.方程问题的函数化

【3】薛金星.中学教材全解.陕西人民教育出版社

【4】刘增利.教材解读与拓展.开明出版社

(发表在《考试周刊》2014年第6期)